（1）∵直线过点A（0，-b）和B（a，0），

∴直线L：

x

a

-

y

b

=1与坐标原点的距离为

3

2

，∴

3

2

=

|ab|

a2+b2

．①…（2分）

∵椭圆的离心率 e=

6

3

，∴

c2

a2

=

2

3

．②…（4分）

由①得4a²b²=3a²+3b²，即4a²（a²-c²）=3a²+3（a²-c²）③

由②③得a²=3，c²=2

∴b²=a²-c²=1

∴所求椭圆的方程是

x2

3

+y²=1…（6分）

（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，消去y可得：（1+3k²）x²+12kx+9=0

∴△=36k²-36＞0，∴k＞1或k＜-1…（8分）

设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则有x₁+x₂=

-12k

1+3k2

，x₁x₂=

9

1+3k2

…（10分）

∵

EC

=（x₁+1，y₁），

ED

=（x₂+1，y₂），且以CD为圆心的圆过点E，

∴EC⊥ED…（12分）

∴（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0

∴（1+k²）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5=0

∴（1+k²）×

9

1+3k2

+（2k+1）×

-12k

1+3k2

+5=0，解得k=

7

6

＞1，

∴当k=

7

6

时以CD为直径的圆过定点E…（14分）