问题
解答题
已知数{an}的前n项和为Sn，且满Sn=2an-n（n=1，2，3_）
（1）a1，a2，a3的值；
（2）求证：数列{an+1}是等比数列；
（3）bn=nan，求数{bn}的前n项Tn．
答案
（1）因为Sn=2an-n，令n=1，解得a1=1，
分别再令n=2，n=3，可解得a2=3，a3=7；
（2）因为n＞1，n∈N），
两式相减可得an=2an-1+1，即an+1=2（an-1+1），
又a1+1=2，所以{an+1}构成首项为2，公比为2的等比数列；
（3）因为{an+1}构成首项为2，公比为2的等比数列，
所以an+1=2n，所以an=2n-1，
因为bn=nan，所以bn=n•2n-n，
所以Tn=1•21+2•22+3•23+…+（n-1）•2n-1+n•2n-（1+2+3+…+n），
令Hn=1•21+2•22+3•23+…+（n-1）•2n-1+n•2n （1）
则2Hn=1•22+2•23+3•24+…+（n-1）•2n+n•2n+1 （2）
（1）-（2）得：-Hn=21+22+23+…+2n-n•2n+1
=
-n•2n+1=（1-n）•2n+1-2，故Hn=2+（n-1）•2n+1，2(1-2n) 1-2
所以Tn=2+（n-1）•2n+1-n(n+1) 2