问题
解答题
在数列{an}中，已知a1=1，an+1=αan+β（α＞0）且a2=5，a3=17．
（Ⅰ）求an+1与an的关系式；
（Ⅱ）求证：{an+1}是等比数列；
（Ⅲ）求数列{n（an+1）}的前n项和Sn．
答案
（Ⅰ）∵数列{an}满足a1=1，an+1=αan+β（α＞0），a2=5，a3=17，
∴
解得α+β=5 5α+β=17 α=3 β=2.
∴an+1=3an+2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an+1=3an+2，∴an+1+1=3（an+1）．
∵a1=1，即an+1≠0，
∴
=3，an+1+1 an+1
∴{an+1}是首项为2，3为公比的等比数列．
（Ⅲ） 由（Ⅱ）知，an+1=2×3n-1，
∴Sn=1×2+2×2×31+3×2×32+…+n×2×3n-1，
3Sn=1×2×3+2×2×32+3×2×33+…+n×2×3n，
两式相减，得：2Sn=-1×2-2×31-2×32-…-2×3n-1+n×2×3n-1
=-2-2
+2n•3n，3-3n 1-3
∴Sn=
．3n(2n-1)+1 2
