问题
解答题
| 某圆锥曲线有下列信息： ①曲线是轴对称图形，且两坐标轴都是对称轴； ②焦点在x轴上且焦点到坐标原点的距离为1； ③曲线与坐标轴的交点不是两个； ④曲线过点A（1，
（1）判断该圆锥曲线的类型并求曲线的方程； （2）点F是改圆锥曲线的焦点，点F′是F关于坐标原点O的对称点，点P为曲线上的动点，探求以|PF|以及|PF|•|PF′|的取值范围． |
答案
（1）∵该曲线与坐标轴至少有3个交点，
∴该曲线为焦点在x轴上的椭圆，
且2c=2，c=1，（2分）
F1、F2分别是该圆锥曲线的左、右焦点，
|AF1|+|AF2|=
+22+ 9 4
=4，02+ 9 4
所以2a=4，a=2，b2=4-1=3，（5分）
∴所求圆锥曲线的标准方程为
+x2 4
=1．（6分）y2 3
（2）设P（x0，y0），
则满足
+x02 4
=1，y02 3
∴y02=3-
，（-2≤x0≤2），3x02 4
|PF|2=（x0-1）2+3-
=3x02 4
-2x0+4，（7分）x02 4
由-2≤x0≤2，
得到|PF|2=（x0-1）2+3-3x02 4
=
-2x0+4∈[1，9]，x02 4
|PF|∈[1，3]，9分
|PF|+|PF′|=2a=4|PF|•|PF′|=|PF|•（4-|PF|）=4|PF|-|PF′|2，
由|PF|∈[1，3]，
知|PF|•|PF′|∈[3，4]，
∴|PF|的取值范围是[1，3]，|PF|•|PF′|的取值范围是[3，4]．（13分）