已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，Sn=an+1-3n-1，n∈N*．（Ⅰ

问题解答题

已知数列a_n的前n项和为S_n，a₁=1，S_n=a_n+1-3n-1，n∈N^*．
（Ⅰ）证明：数列a_n+3是等比数列；
（Ⅱ）对k∈N^*，设f(n)=

Sn-an+3n n=2k-1

log2(an+3) n=2k.

求使不等式cos（mπ）[f（2m²）-f（m）]≤0成立的正整数m的取值范围．．

答案

（I）由S_n=a&_n+1-3n-1，则S_n-1=a_n-3（n-1）-1，n≥2．

两式相减得a_n+1=2a_n+3，n≥2．

即

an+1+3

an+3

=2， n≥2．（2分）

又n=1时，a2=5，

a2+3

a1+3

=2．

∴数列a_n+3是首项为4，公比为2的等比数列．（4分）

（Ⅱ）由（I）知a_n+3=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，S_n=a_n+1-3n-1=2ⁿ⁺²-3n-4．

∴f(n)=

2n+1-1 n=2k-1

n+1 n=2k.

（5分）

①当m为偶数时，cos（mπ）=1，f（2m²）=2m²+1，f（m）=m+1，

∴原不等式可化为（2m²+1）-（m+1）≤0，

即2m²-m≤0．

故不存在合条件的m．（7分）

②当m为奇数时，cos（mπ）=-1，f（2m²）=2m²+1，f（m）=2^m+1-1．

原不等式可化为2m²+1≥2^m+1-1．

当m=1或3时，不等式成立．（9分）

当m≥5时，2^m+1-1=2（1+1）^m-1=2（C_m⁰+C_m¹+C_m²++C_m^m-2+C_m^m-1+C_m^m）-1≥2m²+2m+3＞2m²+1．

∴m≥5时，原不等式无解．（11分）

综合得：当m∈{1，3}时，不等式cos（mπ）[f（2m²）-f（m）]≤0成立．（12分）