设数列{an}的前n项和Sn=3an-2（n=1，2，…）．（Ⅰ）证明数列{a

问题解答题

设数列{a_n}的前n项和S_n=3a_n-2（n=1，2，…）．

（Ⅰ）证明数列{a_n}是等比数列；

（Ⅱ）若b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，…），且b₁=-3，求数列{b_n}的前n项和T_n．

答案

（Ⅰ）证：因为 S_n=3a_n-2（n=1，2，…），S_n-1=3a_n-1-2（n=2，3，…），

所以当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3a_n-3a_n-1，整理得an=

an-1．

由S_n=3a_n-2，令n=1，得a₁=3a₁-2，解得a₁=1．

所以{a_n}是首项为1，公比是

的等比数列．…（6分）

（Ⅱ）由b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，…），

得b_n+1-b_n=a_n（n=1，2，…）．

所以

b2-b1=a1，

b3-b2=a2，

…

bn-bn-1=an-1，

从而 bn=b1+[a1+a2+…+an-1]=-3+

1-(

)n-1

=2(

)n-1-5．

Tn=2[1+

)2+…+(

)n-1]-5n=4×(

)n-5n-4．…（13分）