设A，B分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a，b＞0)的左、右顶点，椭圆长半轴的

问题解答题

设A，B分别为椭圆

=1(a，b＞0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内．
（此题不要求在答题卡上画图）

答案

（Ⅰ）依题意得a=2c，

=4，

解得a=2，c=1，从而b=

．

故椭圆的方程为

=1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0）．

设M（x₀，y₀）．

∵M点在椭圆上，

∴y₀²=

（4-x₀²）（1）

又点M异于顶点A、B，

∴-2＜x₀＜2，由P、A、M三点共线可以得

P（4，

6y0

x0+2

）．

从而

=（x₀-2，y₀），

=（2，

6y0

x0+2

）．

∴

•

=2x₀-4+

6y02

x0+2

（x₀²-4+3y₀²）．（2）

将（1）代入（2），化简得

•

（2-x₀）．

∵2-x₀＞0，

∴

•

＞0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，

故点B在以MN为直径的圆内．