问题
解答题
己知二次函数y=f（x） 的图象过点（1，-4），且不等式f（x）＜0的解集是（O，5）．
（I ）求函数f（x）的解析式；
（II）设g（x）=x3-（4k-10）x+5，若函数h（x）=2f（x）+g（x）在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减，求y=h（x）在[-3，1]上的最大值和最小值..
答案
（Ⅰ）由已知y=f （x）是二次函数，且f （x）＜0的解集是（0，5），
可得f （x）=0的两根为0，5，
于是设二次函数f （x）=ax（x-5），
代入点（1，-4），得-4=a×1×（1-5），解得a=1，
∴f （x）=x（x-5）． …（4分）
（Ⅱ）h（x）=2f （x）+g（x）=2x（x-5）+x3-（4k-10）x+5=x3+2x2-4kx+5，
于是h′（x）=3x2+4x-4k，
∵h（x）在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减，
∴x=-2是h（x）的极大值点，
∴h′（2）=3×（-2）2+4×（-2）-4k=0，解得k=1． …（6分）
∴h（x）=x3+2x2-4x+5，进而得h′（x）=3x2+4x-4．
令h′（x）=3x2+4x-4=0，得x=-2，或x=
．2 3
由下表：
| x | （-3，-2） | -2 | （-2，
|
| （
| ||||||
| h′（x） | + | 0 | - | 0 | + | ||||||
| h（x） | ↗ | 极大 | ↘ | 极小 | ↗ |
h（-3）=（-3）3+2×（-3）2-4×（-3）+5=8，h（
）=（2 3
）3+2×（2 3
）2-4×2 3
+5=2 3
，95 27
∴h（x）的最大值为13，最小值为
．…（12分）95 27