问题
解答题
| 已知函数f（x）=x2-4，设曲线y=f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1，0）（n∈N*），其中x1为正实数． （Ⅰ）用xn表示xn+1； （Ⅱ）若x1=4，记an=lg
（Ⅲ）若x1=4，bn=xn-2，Tn是数列{bn}的前n项和，证明Tn＜3． |
答案
（Ⅰ）由题可得f′（x）=2x．
所以曲线y=f（x）在点（xn，f（xn））处的切线方程是：y-f（xn）=f′（xn）（x-xn）．
即y-（xn2-4）=2xn（x-xn）．
令y=0，得-（xn2-4）=2xn（xn+1-xn）．
即xn2+4=2xnxn+1．
显然xn≠0，∴xn+1=
+xn 2
．2 xn
（Ⅱ）由xn+1=
+xn 2
，知xn+1+2=2 xn
+xn 2
+2=2 xn
，(xn+2)2 2xn
同理xn+1-2=
，故(xn-2)2 2xn
=(xn+1+2 xn+1-2
)2．xn+2 xn-2
从而lg
=2lgxn+1+2 xn+1-2
，即an+1=2an．所以，数列{an}成等比数列．xn+2 xn-2
故an=2n-1a1=2n-1lg
=2n-1lg3．x1+2 x1-2
即lg
=2n-1lg3．xn+2 xn-2
从而
=32n-1xn+2 xn-2
所以xn=2(32n-1+1) 32n-1-1
（Ⅲ）由（Ⅱ）知xn=
，2(32n-1+1) 32n-1-1
∴bn=xn-2=
＞04 32n-1-1
∴
=bn+1 bn
=32n-1-1 32n-1
＜1 32n-1+1
≤1 32n-1
=1 321-1 1 3
当n=1时，显然T1=b1=2＜3．
当n＞1时，bn＜
bn-1＜(1 3
)2bn-2＜＜(1 3
)n-1b11 3
∴Tn=b1+b2+…+bn＜b1+
b1+…+(1 3
)n-1b1=1 3
=3-3•(b1[1-(
)n]1 3 1- 1 3
)n＜3．1 3
综上，Tn＜3（n∈N*）．