数列{an}的前n项和为Sn，首项a1=a，且an+1=2Sn+1，n∈N*（1

问题解答题

数列{a_n}的前n项和为S_n，首项a₁=a，且an+1=2Sn+1，n∈N*
（1）若数列{a_n}是等比数列，求实数a的值；
（2）设b_n=na_n，在（1）的条件下，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）设各项不为0的数列{c_n}中，所有满足c_i•c_i+1＜0的整数i的个数称为这个数列{c_n}的“积异号数”，令cn=

bn-4

(n∈N*)，在（2）的条件下，求数列{c_n}的“积异号数”．

答案

（1）由已知得a_n+1=2S_n+1，a_n=2S_n-1+1（n≥2，n∈N^*），

两式相减得a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2，n∈N^*）．

又a₂=2S₁+1=2a₁+1=3=3a₁，所以a₁=1

所以数列{a_n}是以1为首项，公比为3的等比数列；

（2）由（1）得，an=3n-1

∴b_n=na_n=n•3^n-1

∴T_n=1+2•3+3•3²+…+n•3^n-1，

∴3T_n=1•3+2•3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ，

两式相减可得：-2T_n=1+3+3²+…+3^n-1-n•3ⁿ，

∴T_n=

2n-1

•3n+

；

（3）由（2）知，b_n=n•3^n-1，

∵cn=

bn-4

(n∈N*)

∴C1=-3，C2=

，∴C₁C₂=-1＜0

∵C_n+1-C_n=

bn+1

4(2n+3)

n(n+)•3n

＞0

∵C2=

＞0，∴n≥2时，C_n＞0

∴数列{c_n}的“积异号数”为1．