问题
解答题
已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(0，
（1）求椭圆C的方程； （2）若椭圆C上在第一象限内的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B．求证：直线AB的斜率为定值． |
答案
（1）由已知可设椭圆C的方程为：
+y2 a2
=1(a＞b＞0)x2 b2
依题意：
=a b
且a2=b2+2解得：a2=4b2=22
故椭圆C的方程为：
+y2 4
=1…（4分）x2 2
（2）证明：由（1）知：P（1，
）2
由已知设PA：y-
=k(x-1)，即：y=kx-(k-2
)2
PB：y-
=-k(x-1)，即：y=-kx+(k+2
)…（6分）2
由
得：(k2+2)x2-2k(k-y=kx-(k-
)2 2x2+y2=4
)+k2-22
k-2=02
设A（x1，y1）B（x2，y2）则：x1+1=2k2-2
k2 k2+2
故：x1=
同理：x2=k2-2
k-22 k2+2
…（10分）k2+2
k-22 k2+2
直线AB的斜率kAB=
=y1-y2 x1-x2
=k(x1+x2)-2k x1-x2
=k
-2k2k2-4 k2+2 -4
k2 k2+2
=-8k -4
k2 2
所以：直线AB的斜率为定值．…（12分）
