问题
解答题
| 已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R）． （Ⅰ）若函数f（x）的图象过点（-2，1），且方程f（x）=0有且只有一个根，求f（x）的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当x∈[-1，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围； （Ⅲ）若函数f（x）为偶函数，且
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答案
（Ⅰ）因为f（-2）=1，即4a-2b+1=1，所以b=2a．…（1分）
因为方程f（x）=0有且只有一个根，即△=b2-4a=0．
所以4a2-4a=0．即a=1，b=2．…（2分）
所以f（x）=（x+1）2．…（3分）
（Ⅱ）因为g（x）=f（x）-kx=x2+2x+1-kx=x2-（k-2）x+1=（x-
）2+1-k-2 2
． …（5分）(k-2)2 4
所以当
≥2或k-2 2
≤-1时，k-2 2
即k≥6或k≤0时，g（x）是单调函数． …（7分）
（Ⅲ）因为f（x）为偶函数，所以b=0．
所以f（x）=ax2+1．
所以F（x）=
…（8分）ax2+1，x＞0 -ax2-1，x＜0
因为mx＜0，不妨设m＞0，则n＜0．
又因为m+n＞0，所以m＞-n＞0．
所以|m|＞|-n|．…（9分）
此时F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=am2+1-an2-1=a（m2-n2）＞0．
所以F（m）+F（n）＞0． …（10分）