已知直角坐标平面内点A（x，y）到点F1（-1，0）与点F2（1，0）的

问题解答题

已知直角坐标平面内点A（x，y）到点F₁（-1，0）与点F₂（1，0）的距离之和为4．
（1）试求点A的轨迹M的方程；
（2）若斜率为

的直线l与轨迹M交于C、D两点，点P(1，

)为轨迹M上一点，记直线PC的斜率为k₁，直线PD的斜率为k₂，试问：k₁+k₂是否为定值？请证明你的结论．

答案

（1）由题知|AF₁|+|AF₂|=4，|F₁F₂|=2，则|AF₁|+|AF₂|＞|F₁F₂|

由椭圆的定义知点A轨迹M是椭圆，其中a=2，c=1．

因为b²=a²-c²=3，

所以，轨迹M的方程为

=1；

（2）设直线l的方程为：y=

x+b，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）

联立直线l'的方程与椭圆方程，消去y可得：3x2+4(

x+b)2=12，

化简得：x²+bx+b²-3=0

当△＞0时，即，b²-4（b²-3）＞0，也即|b|＜2时，直线l'与椭圆有两交点，

由韦达定理得：

x1+x2=-b

x1•x2=b2-3

，

所以，k1=

y1-

x1-1

x1+b-

x1-1

，k2=

y2-

x2-1

x2+b-

x2-1

则k₁+k₂=

x1+b-

x1-1

x2+b-

x2-1

x1•x2+(b-2)(x1+x2)+3-2b

(x1-1)(x2-1)

b2-3+(b-2)(-b)+3-2b

(x1-1)(x2-1)

=0，

所以，k₁+k₂为定值．