已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，抛物线C上的点M（2

问题解答题

已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，抛物线C上的点M（2，m）到焦点F的距离为3．
（Ⅰ）求抛物线C的方程：
（Ⅱ）过点（2，0）的直线l与抛物线C交于A、B两点，若|AB|=4

，求直线l的方程．

答案

（Ⅰ）∵抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，

抛物线C上的点M（2，m）到焦点F的距离为3，

∴设抛物线的方程为y²=2px（p＞0），

M到准线的距离为3，即

+2=3，解得p=2，

∴抛物线C的方程为y²=4x．…（3分）

（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-2），

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

由

y2=4x，

y=k(x-2)，

得k²x²-（4k²+4）x+4k²=0，

根据韦达定理，x1+x2=

4(k2+1)

，x₁x₂=4．

∴|AB|2=(1+k2)|x1-x2|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=(1+k2)[

16(k4+2k2+1)

-16]

=16(1+k2)

2k2+1

=96

整理得4k⁴-3k²-1=0，解得k=±1．

∴直线l的方程为x-y-2=0或x+y-2=0．…（10分）