已知f（x）=（x-1）2，g（x）=4（x-1），f（an）和g（an）满足：

问题解答题

已知f（x）=（x-1）²，g（x）=4（x-1），f（a_n）和g（a_n）满足：a₁=2，且（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0．

（1）是否存在常数C，使得数列{a_n+C}为等比数列？若存在，证明你的结论；若不存在，请说明理由．

（2）设b_n=3f（a_n）-[g（a_n+1）]²，求数列{b_n}的前n项和S_n．

答案

（1）由题意知：4（a_n+1-a_n）（a_n-1）+（a_n-1）²=0

∴（a_n-1）（4a_n+1-3a_n-1）=0 …（2分）

∵a₁=2，∴a_n-1≠0，即4a_n+1=3a_n+1 …（4分）

假设存在常数C，使{a_n+C}为等比数列，

则：

an+1+c

an+c

an+

an+c

(1+c)

an+c

为常数

∴c=-1，故存在常数c=-1，使{a_n-1}为等比数列…（6分）

（2）∵a₁=2，∴a1-1=1，即an-1=(

)n-1，

∴an=(

)n-1+1…（8分）

从而bn=3(an-1)2-[4(an+1-1)]2=-6(

)n-1…（10分）

∴Sn=

-6[1-(

)n]

[1-(

)n]…（12分）