设{an}是公比为q的等比数列．（Ⅰ）试推导{an}的前n项和公式；

问题解答题

设{a_n}是公比为q的等比数列．

（Ⅰ）试推导{a_n}的前n项和公式；

（Ⅱ）设q≠1，证明数列{a_n+1}不是等比数列．

答案

（I）当q=1时，S_n=na₁；

当q≠0，1时，由S_n=a₁+a₂+…+a_n，

得qS_n=a₁q+a₂q+…+a_n-1q+a_nq．

两式错位相减得（1-q）S_n=a₁+（a₂-a₁q）+…+（a_n-a_n-1q）-a_nq，（*）

由等比数列的定义可得

=…=

an-1

=q，

∴a₂-a₁q=a₃-a₂q=…=0．

∴（*）化为（1-q）S_n=a₁-a_nq，

∴Sn=

a1-anq

1-q

a1-a1qn

1-q

a1(1-qn)

1-q

．

∴Sn=

na1，

(q=1)

a1(1-qn)

1-q

，

(q≠1)

；

（Ⅱ）用反证法：设{a_n}是公比为q≠1的等比数列，数列{a_n+1}是等比数列．

①当存在n∈N^*，使得a_n+1=0成立时，数列{a_n+1}不是等比数列．

②当∀n∈N^*（n≥2），使得a_n+1≠0成立时，则

an+1+1

an+1

a1qn+1

a1qn-1+1

a1q+1

a1+1

，

化为（q^n-1-1）（q-1）=0，

∵q≠1，∴q-1≠0，q^n-1-1≠0，故矛盾．

综上两种情况：假设不成立，故原结论成立．