已知等差数列{an}的公差为d，a3=5，a5=9，等比数列{bn}的公比为q，

问题解答题

已知等差数列{a_n}的公差为d，a₃=5，a₅=9，等比数列{b_n}的公比为q，b₁=1，b₄=27，设S_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n，T_n=a₁b₁-a₂b₂+a3b3-…+(-1)n-1anbn（n∈N₊）．

（1）求S₃和T₃的值；

（2）设f（n）=（1-q）S_2n-（1+q）T_2n，求f（n）的表达式．

答案

（1）∵a₅=a₃+2d，a₃=5，a₅=9，∴9=5+2d，解得d=2，∴a_n=a₃+（n-3）d=5+（n-3）×2=2n-1，∴S₃=1×1+3×3+5×9=55；

∵b4=b1q3，b₁=1，b₄=27，∴27=q³，解得q=3，∴bn=3n-1，∴T₃=1×1-3×3+5×3²=37．

（2）①∵S_n=1×1+3×3¹+5×3²+…+（2n-1）•3^n-1，

3S_n=1×3+3×3²+…+（2n-3）•3^n-1+（2n-1）•3ⁿ，

∴-2S_n=1+2×3+2×3²+…+2×3^n-1-（2n-1）•3ⁿ=1+2×

3×(3n-1-1)

3-1

-（2n-1）•3ⁿ，

得S_n=-

3n-3

(2n-1)•3n

=（n-1）•3ⁿ+1，

∴S_2n=（2n-1）•3²ⁿ+1．

②T_2n=1×1-3×3+5×3²-7×3³+…+（4n-3）•3^2n-2-（4n-1）•3^2n-1

=-8-16×3²-…-8n•3^2n-2

=-8（1×3⁰+2×3²+3×3⁴+…+n•3^2n-2）

=-8•(

32n-1

-16

n•32n

)

32n-1

-n•32n．

∴f（n）=（1-3）•[（2n-1）•3²ⁿ+1]-4×(

32n-1

-n•32n)=（2-4n）•3²ⁿ+2-4n-2•3²ⁿ+2+4n•3²ⁿ=4