（I）由e=

c

a

=

1

2

，得

c2

a2

=

1

4

，

∴a²=4c²=4（a²-b²），

∴3a²=4b²．（1），…（1分）

由椭圆过点(

3

，-

3

2

)知，

3

a2

+

3

4b2

=1．（2）…（2分）

联立（1）、（2）式解得a²=4，b²=3．…（3分）

故椭圆的方程是

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）

（II）

1

|AB|

+

1

|CD|

为定值

7

12

…（5分）

证明：椭圆的右焦点为F′（1，0），分两种情况．

1°当直线AB的斜率不存在时，AB：x=1，

则CD：y=0．此时|AB|=3，|CD|=4，

1

|AB|

+

1

|CD|

=

7

12

；…（6分）

2°当直线AB的斜率存在时，

设AB：y=k（x-1）（k≠0），则CD：y=-

1

k

(x-1)．

又设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．

联立方程组

y=k(x-1) 3x2+4y2=12

，

消去y并化简得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，

∴x1+x2=

8k2

4k2+3

，x1•x2=

4k2-12

4k2+3

…（7分）

∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+k2

|x1-x2|

=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

64k4-16(k2-3)(4k2+3) (4k2+3)2

=

12(k2+1)

4k2+3

，…（8分）

由题知，直线CD的斜率为-

1

k

，

同理可得|CD|=

12(1+k2)

4+3k2

…（9分）

所以

1

|AB|

+

1

|CD|

=

7k2+7

12(k2+1)

=

7

12

为定值．…（10分）

（Ⅲ）由（II）知

1

|AB|

+

1

|CD|

=

7

12

，

∴|AB|+

9

16

|CD|=

12

7

(|AB|+

9

16

|CD|)(

1

|AB|

+

1

|CD|

)…（11分）

=

12

7

(

25

16

+

9 16 |CD|

|AB|

+

|AB|

|CD|

)

≥

12

7

(

25

16

+2

9 16 |CD| |AB| × |AB| |CD|

)=

21

4

，…（12分）

当且仅当

9 16 |CD|

|AB|

=

|AB|

|CD|

，

即|AB|=

3

4

|CD|，即|AB|=3，|CD|=4时取等号…（13分）

∴|AB|+

9

16

|CD|的最小值为

21

4

．…（14分）