问题
解答题
过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于不同的两点A、B，试确定实数a的取值范围，使|AB|≤2p．
答案
由题意，直线l的方程为y=x-a，将y=x-a代入y2=2px，得x2-2（a+p）x+a2=0．
设直线l与抛物线的两个交点的坐标为A（x1，y1）、B（x2，y2），
则4(a+p)2-4a2＞0 x1+x2=2(a+p) x1x2=a2.
又y1=x1-a，y2=x2-a，
∴|AB|=
=(x1-x2)2+(y1-y2)2
=2[(x1+x2)2-4x1x2]
．8p(p+2a)
∵0＜|AB|≤2p，8p（p+2a）＞0，∴0＜
≤2p．8p(p+2a)
解得-
＜a≤-p 2
．p 4
故a∈(-
，-p 2
]时，有|AB|≤2p．p 4