问题
解答题
函数f（x）=ax2+bx（a，b是常数且a≠0）满足条件：f（2）=0，方程f（x）=x 有等根
（1）求f（x）的解析式；
（2）问：是否存在实数m，n使得f（x）定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]，如存在，求出m，n的值；如不存在，说明理由．
答案
（1）f（2）=0得：4a+2b=0． 方程f（x）=x，即ax2+（b-1）x=0．
由此方程有等根，可得△=（b-1）2=0，可得b=1．------（2分）
解方程组
，可得4a+2b=0 (b-1)2=0
，-----（4分） a=- 1 2 b=1
∴f（x）=-
x2+x．------（5分）1 2
（2）由于f（x）=-
x2+x=-1 2
(x-1)2+1 2
≤1 2
，------（2分） 1 2
∴2n≤
，∴n≤1 2
，∴函数f（x）在[m，n]上是增函数．------（5分）1 4
∴
，解得m=-2，n=0．f(m)=-
m2+m=2m1 2 f(n)=-
n2 +n=2n1 2
故存在实数m=-2，n=0，满足条件．-----（7分）