问题 解答题

二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x+1,且f(0)=1

(1)求f(x)的表达式;

(2)当-1≤x≤1时,f(x)≤3x+m恒成立,求实数m的最小值.

答案

(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)

∵f(0)=1

∴c=1

∴f(x)=ax2+bx+1,

f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+1=ax2+2ax+a+bx+b+1,

∵f(x+1)-f(x)=2x+1

∴2ax+a+b=2x+1

2a=2
a+b=1

∴a=1,b=0.

∴f(x)=x2+1

(2)∵当-1≤x≤1时,f(x)≤3x+m恒成立,

∴由(1)知当-1≤x≤1时,x2+1≤3x+m恒成立,

∴当-1≤x≤1时,(x-

3
2
2≤m+
5
4
恒成立,

当x=1时,(x-

3
2
2max=
25
4

25
4
≤m+
5
4

∴m≥5.

∴当-1≤x≤1时,f(x)≤3x+m恒成立,实数m的最小值是5.

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