问题
解答题
二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x+1,且f(0)=1
(1)求f(x)的表达式;
(2)当-1≤x≤1时,f(x)≤3x+m恒成立,求实数m的最小值.
答案
(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
∵f(0)=1
∴c=1
∴f(x)=ax2+bx+1,
f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+1=ax2+2ax+a+bx+b+1,
∵f(x+1)-f(x)=2x+1
∴2ax+a+b=2x+1
∴2a=2 a+b=1
∴a=1,b=0.
∴f(x)=x2+1
(2)∵当-1≤x≤1时,f(x)≤3x+m恒成立,
∴由(1)知当-1≤x≤1时,x2+1≤3x+m恒成立,
∴当-1≤x≤1时,(x-
)2≤m+3 2
恒成立,5 4
当x=1时,(x-
)2max=3 2
,25 4
∴
≤m+25 4
,5 4
∴m≥5.
∴当-1≤x≤1时,f(x)≤3x+m恒成立,实数m的最小值是5.