问题
解答题
已知点P是圆F1：(x+
（1）求点M的轨迹C的方程； （2）设轨迹C与x轴的两个左右交点分别为A，B，点K是轨迹C上异于A，B的任意一点，KH⊥x轴，H为垂足，延长HK到点Q使得HK=KQ，连接AQ延长交过B且垂直于x轴的直线l于点D，N为DB的中点．试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系． |
答案
（1）由题意得，F1(-
，0)，F2(3
，0)（1分）3
圆F1的半径为4，且|MF2|=|MP|（2分）
从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=4＞|F1F2|=2
（3分）3
∴点M的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，其中长轴2a=4，焦距2c=2
，3
则短半轴b=
=a2-c2
=1，（4分）4-3
椭圆方程为：
+y2=1（5分）x2 4
（2）设K（x0，y0），则
+y02=1．x02 4
∵HK=KQ，∴Q（x0，2y0）．∴OQ=
=2（6分）x02+(2y02)
∴Q点在以O为圆心，2为半径的圆上．即Q点在以AB为直径的圆O上．（7分）
又A（-2，0），∴直线AQ的方程为y=
(x+2)．（8分）2y0 x0+2
令x=2，得D(2，
)．（9分）8y0 x0+2
又B（2，0），N为DB的中点，∴N(2，
)．（10分）4y0 x0+2
∴
=(x0，2y0)，OQ
=(x0-2，NQ
)．（11分）2x0y0 x0+2
∴
•OQ
=x0(x0-2)+2y0•NQ
=x0(x0-2)+2x0y0 x0+2
=x0(x0-2)+4x0y02 x0+2 x0(4-x02) x0+2
=x0（x0-2）+x0（2-x0）=0．（13分）
∴
⊥OQ
．∴直线QN与圆O相切．（14分）NQ
