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问题 解答题
已知一列非零向量
an
满足：
a1
=(x1，y1)，
an
=(xn，yn)=
1
2
(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)(n≥2)．
（Ⅰ）证明：{|
an
|}是等比数列；
（Ⅱ）求向量
a
n-1与
a
n的夹角(n≥2)；
（Ⅲ）设
a
1=(1，2)，把
a1
，
a2
，…，
an
，…中所有与
a1
共线的向量按原来的顺序排成一列，记为
b1
，
b2
，…，
.
bn
，…，令
OB
n=
b1
+
b2
+…+
bn
，0为坐标原点，求点列{Bn}的极限点B的坐标．
（注：若点Bn坐标为(tn，sn)，且
lim
n→∞
tn=t，
lim
n→∞
sn=s，则称点B(t，s)为点列{Bn}的极限点．）
答案

（I）|

an
|=
1
2
(xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2

=

2
2
•
x2n-1
+
y2n-1
=
2
2
|
a
n-1|，(n≥2)，首项|
a1
|=
x21
+
y21
≠0，
|
an
|
|
a
n-1|
=
2
2
为常数，∴{|
an
|}是等比数列．

（II）

a
n-1•
a
n=(xn-1，yn-1)•
1
2
(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)=
1
2
(
x2n-1
+
y2n-1
)=
1
2
|
a
n-1|2，cos＜
a
n-1，
a
n＞=
a
n-1•
a
n
|
a
n-1||
a
n|
=
1
2
|
a
n-1|2
|
a
n-1|•
2
2
|
a
n-1|
=
2
2
，∴
a
n-1与
a
n的夹角为
π
4
．

（III）

a1
=(x1，y1)，
a2
=
1
2
(x1-y1，x1+y1)，

a3
=
1
4
(-2y1，2x1)=
1
2
(-y1，x1)，
a4
=
1
4
(-y1-x1，-y1+x1)，
a5
=
1
8
(-2x1，-2y1)=-
1
4
(x1，y1)，∴
a1
∥
a5
∥
a9
∥一般地，
b1
=
a1
，
b2
=
a5
，，
bn
=
a
4n-3，

用数学归纳法易证

b
n=
a
4n-3成立∴
b
n=(-
1
4
)n-1(x1，y1)．

设

OBn
=(tn，sn)则tn=[1+(-
1
4
)+(-
1
4
)2+…+(-
1
4
)n-1]x1=
1-(-
1
4
)n
1-(-
1
4
)
=
4
5
[1-(-
1
4
)n]，
lim
n→∞
tn=
4
5
；

sn=[1+(-

1
4
)+(-
1
4
)2+…+(-
1
4
)n-1]y1=
1-(-
1
4
)n
1-(-
1
4
)
•2=
8
5
[1-(-
1
4
)n]，
lim
n→∞
sn=
8
5
，

∴极限点B的坐标为(

4
5
，
8
5
)．

多项选择题

计量时监理工程师还应完成的工作有（）。

A．应有一套图纸

B．应有一套档案

C．记录工程量清单中所列出的分类细目的数量与计量后数量的差异

D．工程变更应记录已下达的变更指令依据

E．如果计日工的时间超过一个月，应在暂时计量单上记账
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填空题

轻瓦斯保护应动作与（），重瓦斯保护应动作与（）。
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