（Ⅰ）∵双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，

离心率为2，其一个顶点的坐标是(

1

3

，0)，

∴设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，

∴

c a =2 a= 1 3

，解得a=

3

3

，c=

2 3

3

，

b²=（

2 3

3

）²-（

3

3

）²=1，

∴双曲线C的标准方程为3x²-y²=1．

（Ⅱ）假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆过坐标的原点．

将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程3x²-y²=1后，

整理得（k²-3）x²+2kx+2=0，…①

依题意，直线l与双曲线C交于不同两点，

∴

k2-3≠0 △=(2k)2-8(k2-3)＞0

，

解得k的取值范围是-

6

＜k＜

6

，

设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），

则由①式得

x1+x2= 2k 3-k2 x1x2= 2 k2-3

，…②

y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）

=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，

假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点（0，0），

则由FA⊥FB得：x₁x₂+y₁y₂=0，…③

把②式代入③式得：（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0

∴（1+k²）•

2

k2-3

+

2k2

3-k2

+1=0，

解得k=-1，或k=1，

∴1和-1都在（-

6

，

6

）内，

∴存在实数k=±1，使得以AB为直径的圆经过坐标原点．