问题
解答题
| 已知点F是双曲线C：x2-y2=2的左焦点，直线l与双曲线C交于A、B两点， （1）若直线l过点P（1，2），且
（2）若直线l过点F且与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，设
|
答案
设A（x1，y2），B（x2，y2），
（1）由A、B两点在双曲线上，得
-x 21
=2y 21
-x 22
=2y 22
作差：（x1-x2）（x1+x2）=（y1-y2）（y1+y2）即
=y1-y2 x1-x2
，x1+x2 y1+y2
由
+OA
=2OB
，知OP x1+x2=2 y1+y2=4
则直线l的斜率k=
，直线l的方程为y-2=1 2
(x-1)即x-2y+3=01 2
易知直线l与双曲线有两个交点，方程x-2y+3=0即为所求，
（2）F（-2，0），由
=λFB
，得FA x2+2=λ(x1+2) y2=λy1
设直线l：y=k（x+2），由
，得（1-k2）y2-4ky+2k2=0．y=k(x+2) x2-y2=2
∴△=16k2-8k2（1-k2）=8k2（1+k2）y1+y2=
，y1y2=4k 1-k2
．2k2 1-k2
由y2=λy1，y1+y2=
，y1y2=4k 1-k2
，消去y1，y2，2k2 1-k2
得
=8 1-k2
=λ+(1+λ)2 λ
+2．1 λ
∵λ≥6，函数g(λ)=λ+
+2在（1，+∞）上单调递增，1 λ
∴
≥6+8 1-k2
+2=1 6
，∴k2≥49 6
．1 49
又直线l与双曲线的两支相交，即方程（1-k2）y2-4ky+2k2=0两根同号，
∴k2＜1．
∴
≤k2＜1，故k∈(-1，-1 49
]∪[1 7
，1)．1 7