已知数列{an}前n项和Sn满足an=2-2Sn．（I）求a1，a2；（II

问题解答题

已知数列{a_n}前n项和S_n满足a_n=2-2S_n．

（I）求a₁，a₂；

（II）求通项公式a_n；

（III）求证数列{S_n-1}为等比数列．

答案

（I）在a_n=2-2S_n

取n=1，则a₁=2-2S₁=2-2a₁∴a₁=

取n=2，则a₂=2-2S₂=2-2（a₁+a₂）=2-2（

+a₂）∴a₂=

．（2分）

（II）∵当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1

∴a_n-a_n-1=（2-2S_n）-（2-2S_n-1）=-2（S_n-S_n-1）=-2a_n

∴a_n=

a_n-1，n≥2 又a₁=

∴a_n≠0，n∈N*

∴

an-1

∴{a_n}为等比数列，且公比为

∴a_n=

×（

）^n-1=

，n∈N*．（4分）

（III）当n≥2时，2-2S_n=a_n=S_n-S_n-1 即：3S_n=2+S_n-1

∴3（S_n-1）=S_n-1-1 又S₁-1=a₁-1=-

≠0

∴S_n-1≠0，n∈N*

∴

Sn-1

Sn-1-1

为常数

∴数列{S_n-1}为等比数列．（7分）