问题
解答题
已知函数f（x）=-sin2x+sinx+a，若1≤f（x）≤4对一切x∈R恒成立．求实数a的取值范围．
答案
∵y=f（x）=-sin2x+sinx+a，
令t=sinx，则y=-t2+t+a（-1≤t≤1），
由于y=-t2+t+a的对称轴是t=
，1 2
∴在-1≤t≤1上，根据二次函数的单调性，有：
当t=
时，y取得最大值，ymax=-(1 2
)2+1 2
+a=1 2
+a，1 4
当t=-1时，y取得最小值，ymin=-（-1）2+（-1）+a=a-2，
又∵1≤f（x）≤4对一切x∈R恒成立，
即：1≤y=-t2+t+a≤4对一切t∈[-1，1]恒成立，
所以有：
，即ymax≤4 ymin≥1
⇒3≤a≤
+a≤41 4 a-2≥1
，15 4
∴实数a的取值范围是[3，
]．15 4