问题
解答题
已知椭圆C：
（1）求椭圆C的方程； （2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点． ①若线段AB中点的横坐标为-
②已知点M(-
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答案
（1）因为
+x2 a2
=1(a＞b＞0)满足a2=b2+c2，y2 b2
=c a
，…（2分）6 3
根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
，可得5 2 3
×b×2c=1 2
．5 2 3
从而可解得a2=5，b2=
，5 3
所以椭圆方程为
+x2 5
=1…（4分）y2 5 3
（2）证明：①将y=k（x+1）代入
+x2 5
=1中，消元得（1+3k2）x2+6k2x+3k2-5=0…（6分）y2 5 3
△=36k4-4（3k2+1）（3k2-5）=48k2+20＞0，x1+x2=-
…（7分）6k2 3k2+1
因为AB中点的横坐标为-
，所以-1 2
=-3k2 3k2+1
，解得k=±1 2
…（9分）3 3
②由①知x1+x2=-
，x1x2=6k2 3k2+1 3k2-5 3k2+1
所以
•MA
=(x1+MB
，y1)(x2+7 3
，y2)=(x1+7 3
)(x2+7 3
)+y1y2…（11分）7 3
=(x1+
)(x2+7 3
)+k2(x1+1)(x2+1)=(1+k2)x1x2+(7 3
+k2)(x1+x2)+7 3
+k2…（12分）49 9
=(1+k2)
+(3k2-5 3k2+1
+k2)(-7 3
)+6k2 3k2+1
+k2=49 9
+-3k4-16k2-5 3k2+1
+k2=49 9
…（14分）4 9