问题
解答题
在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*．
（1）证明数列{an-n}是等比数列；
（2）设数列{an}的前n项和Sn，求Sn+1-4Sn的最大值．
答案
（1）由题设an+1=4an-3n+1，得an+1-（n+1）=4（an-n），n∈N*．
又a1-1=1，
所以数列{an-n}是首项为1，且公比为4的等比数列．
（2）由（Ⅰ）可知an-n=4n-1，
于是数列{an}的通项公式为an=4n-1+n．
所以数列{an}的前n项和Sn=
+4n-1 3
，Sn+1=n(n+1) 2
+4n+1-1 3 (n+2)(n+1) 2
所以Sn+1-4Sn=-
（3n2+n-4），1 2
故n=1，最大值为：0．