已知F1，F2分别为椭圆x2a2+y2a2-1=1（a＞1）的左、右两个焦点，一

问题解答题

已知F₁，F₂分别为椭圆

a2-1

=1（a＞1）的左、右两个焦点，一条直线l经过点F₁与椭圆交于A、B两点，且△ABF₂的周长为8．
（1）求实数a的值；
（2）若l的倾斜角为

，求|AB|的值．

答案

由椭圆的定义，得|AF₁|+|AF₂|=2a，|BF₁|+|BF₂|=2a，…（2分）

又|AF₁|+|BF₁|=|AB|，

所以△ABF₂的周长=|AB|+|AF₂|+|BF₂|=4a．…（4分）

又因为△ABF₂的周长为8，所以4a=8，则a=2．…（5分）

（2）由（1）得，椭圆

=1，F₁（-1，0），…（7分）

因为直线l的倾斜角为

，所以直线l斜率为1，

故直线l的方程为y=x+1．…（8分）

由

y=x+1

消去y，得7x²+8x-8=0，…（9分）

（法一：|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1•x2]

）

法二：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），解得，x1=

-4+6

，x2=

-4-6

…（10分）

所以y1=

3+6

，y2=

3-6

则|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

(

)2+(

…（12分）