问题
解答题
已知f（x）=log2（x+m），m∈R
（1）如果f（1），f（2），f（4）成等差数列，求m的值；
（2）如果a，b，c是两两不等的正数，且a，b，c依次成等比数列，试判断f（a）+f（c）与2f（b）的大小关系，并证明你的结论．
答案
（1）∵f（1），f（2），f（4）成等差数列，
∴f（1）+f（4）=2f（2）．
即log2（1+m）+log2（4+m）=log2（2+m）2
∴（m+1）（m+4）=（m+2）2
即m2+5m+4=m2+4m+4
∴m=0
（2）∵f（a）+f（c）=log2（a+m）+log2（c+m）=log2[（a+m）（c+m）]，
2f（b）=2log2（b+m）=log2（b+m）2，
∵a，b，c成等比数列，
∴b2=ac
∵（a+m）（c+m）-（b+m）2
=ac+am+cm+m2-b2-2bm-m2
=ac+m（a+c）-b2-2bm
=m（a+c）-2mac
∵a＞0，c＞0．
∴a+c≥2ac
①m＞0时，（a+m）（c+m）-（b+m）2＞0，
∴log2[（a+m）（c+m）＞log2（b+m）2
∴f（a）+f（c）＞2f（b）；
②m＜0时，（a+m）（c+m）-（b+m）2＜0，
∴log2[（a+m）（c+m）]＜log2（b+m）2
∴f（a）+f（c）＜2f（b）；
③m=0时，（a+m）（c+m）-（b+m）2=0
∴log2[（a+m）（c+m）]=log2（b+m）2
∴f（a）+f（c）=2f（b）．
