问题
解答题
已知点M是曲线C上任一点，点M到点F（1，0）的距离比到y轴的距离多1．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点P（0，2）的直线L交曲线C于A、B两点，若以AB为直径的圆经过原点O，求直线L的方程．
答案
（1）∵点M到点F（1，0）的距离比到y轴的距离多1，
∴点M到点F（1，0）的距离等于到直线x=-1的距离，
∴点M的轨迹是以F（1，0）为焦点，直线x=-1为准线的抛物线，
∴曲线C的方程为：y2=4x．
（2）设直线l的方程为y=kx+2（k≠0），
A（x1，y1），B（x2，y2），
由
，消去x得：ky2-4y+8=0，y2=4x y=kx+2
则△=16-32k＞0，解得k＜
，1 2
∴y1y2=
，x1x2=8 k
•y12 4
=y22 4
，4 k2
∴以AB为直径的圆过原点O，
∴
•OA
=x1x2+y1y2=0，OB
∴
+4 k2
=0，解得k=-8 k
，1 2
∴直线l的方程为y=-
x+2．1 2