已知椭圆的方程为：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，其中a2=4c，直线l：

问题解答题

已知椭圆的方程为：

=1(a＞b＞0)，其中a²=4c，直线l：3x-2y=0与椭圆的交点在x轴上的射影恰为椭圆的焦点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆在x轴上方的一个交点为P，F是椭圆的右焦点，试探究以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系．

答案

（Ⅰ）设椭圆的左右焦点分别为F₁（-c，0）、F₂（c，0），

直线3x-2y=0与椭圆的一个交点坐标是M(c，

)，

根据椭圆的定义得：|MF₁|+|MF₂|=2a，

即

[c-(-c)]2+(

(c-c)2+(

=2a，即4c=2a①，

又

=4②，a²=b²+c²③，联立①②③三式解得a=2，b=

，c=1，

所以椭圆的方程为：

=1；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，直线与椭圆的一个交点为P（1，

），F（1，0），

则以PF为直径的圆的方程是(x-1)2+(y-

)2=

，圆心为（1，

），半径为

，；

以椭圆长轴为直径的圆的方程是x²+y²=4，圆心是（0，0），半径是2，

两圆心距为

12+(

=2-

，所以两圆内切．