问题
解答题
| 定义：若数列{An}满足An+1=An2，则称数列{An}为“平方递推数列”．已知数列{an}中，a1=2，且an+1=2an2+2an，其中n为正整数． （1）设bn=2an+1，证明：数列{bn}是“平方递推数列”，且数列{lgbn}为等比数列； （2）设（1）中“平方递推数列”{bn}的前n项之积为Tn，即Tn=（2a1+1）（2a2+1）…（2an+1），求数列{an}的通项及Tn关于n的表达式； （3）记cn=
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答案
（1）由条件an+1=2an2+2an，得2an+1+1=4an2+4an+1=（2an+1）2．
∴{bn}是“平方递推数列”．∴lgbn+1=2lgbn．∵lg（2a1+1）=lg5≠0，∴
=2．lg(2an+1+1) lg(2an+1)
∴{lg（2an+1）}为等比数列．
（2）∵lg（2a1+1）=lg5，∴lg（2an+1）=2n-1⋅lg5，∴2an+1=52n-1，∴an=
（52n-1-1）．1 2
∵lgTn=lg（2a1+1）+lg（2a2+1）+…+lg（2an+1）=
=（2n-1）lg5．(1-2n)lg5 1-2
∴Tn=52n-1．
（3）cn=
=lgTn lg(2an+1)
=(2n-1)lg5 2n-1lg5
=2-(2n-1 2n-1
)n-1，1 2
∴Sn=2n-[1+
+(1 2
)2++(1 2
)n-1]=2n-1 2
=2n-2[1-(1-(
)n1 2 1- 1 2
)n]=2n-2+2(1 2
)n．1 2
由Sn＞2008得2n-2+2(
)n＞2008，n+(1 2
)n＞1005，1 2
当n≤1004时，n+(
)n＜1005，当n≥1005时，n+(1 2
)n＞1005，∴n的最小值为1005．1 2