问题
解答题
设f（x）=x2+bx+c （b，c为常数），方程f（x）-x=0的两个实根为x1、x2且满足x1＞0，x2-x1＞1．
（1）求证：b2＞2（b+2c）；
（2）0＜t＜x1，比较f（t）与x1的大小；
（3）若当x∈[-1，1]时，对任意的x都有|f（x）|≤1，求证：|1+b|≤2．
答案
（1）证明：方程f（x）-x=0的两根为x1、x2，
因而有（x2-x1）2=b2-2b+1-4c，又x2-x1＞1，
∴b2-2b+1-4c＞1，∴b2＞2（b+2c）．（5分）
（2）∵x1是方程f（x）-x=0的根，∴x1=f（x1），
∴f（t）-x1=f（t）-f（x1）=（t-x1）（t+x1+b）
=（t-x1）（t+1-x1）．
∵x1+x2=1-b，0＜t＜x1
∴t-x1＜0，又x2-x1＞1，即x1+1-x2＜0，
∴t+1-x2＜x1+1-x2＜0
故f（t）-x1＞0，∴f（t）＞x1（10分）
（3）证明：∵x∈[-1，1]时，恒有|f（x）|≤1，
∴f（0）=|c|≤1，
|f（1）|=|1+b+c|≤1，
从而|1+b|=|1+b+c-c|≤|1+b+c|+|-c|=|1+b+c|+|c|≤1+1=2．（14分）