问题 解答题
在平面直角坐标系xOy中,动点p(x,y)(x≥0)满足:点p到定点F(
1
2
,0)与到y轴的距离之差为
1
2
.记动点p的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的轨迹方程;
(2)过点F的直线交曲线C于A、B两点,过点A和原点O的直线交直线x=-
1
2
于点D,求证:直线DB平行于x轴.
答案

(1)依题意:|PF|-x=

1
2
…(2分)

(x-
1
2
)2+y2
=
1
2
+x(x-
1
2
2+y2=(x+
1
2
2…(4分)

∴y2=2x…(6分)

注:或直接用定义求解.

(2)设A的坐标为(

y02
2
y0),则OM的方程为y=
2
y0
x(y0≠0),

∴点D的纵坐标为y=-

1
y0

∵F(

1
2
,0)

∴直线AF的方程为y=

y0
y02
2
-
1
2
(x-
1
2
),(y02≠1)

∴点B的纵坐标为y=-

1
y0

∴BDx轴;当y02=1时,结论也成立,

∴直线DB平行于x轴.

选择题
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