椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1（-1，0）、

问题解答题

椭圆C：

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），O是坐标原点，C的右顶点和上顶点分别为A、B，且△AOB的面积为

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P（4，0）作与x轴不重合的直线l与C交于相异两点M、N，交y轴于Q点，证明

|PQ|

|PM|

|PQ|

|PN|

为定值，并求这个定值．

答案

（Ⅰ）依题意得

a2-b2

ab=

…（3分）

解得

a2=5

b2=4

，故椭圆C的方程为

=1．…（5分）

（Ⅱ）证明：依题意可设直线l的方程为x=ky+4…（6分）

由

x=ky+4

4x2+5y2=20

，消去x可得（4k²+5）y²+32ky+44=0

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（0，y₃），则

y1+y2=

-32k

4k2+5

y1y2=

4k2+5

…（8分）

又由直线l的方程x=ky+4知y3=-

由三角形的相似比得

|PQ|

|PM|

|PQ|

|PN|

|y3|

|y1|

|y3|

|y2|

|y3|(|y1|+|y2|)

|y1y2|

注意到y₁y₂＞0，

∴|y₁|+|y₂|=|y₁+y₂|

∴

|PQ|

|PM|

|PQ|

|PN|

|y3|×|y1+y2|

|y1y2|

|k|

32|k|

4k2+5

故

|PQ|

|PM|

|PQ|

|PN|

为定值

．…（12分）