问题
解答题
在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*，
（Ⅰ）证明：数列{an-n}是等比数列；
（Ⅱ）设bn=nan-n2-n，求数列{bn}的前n项和Sn；
答案
（Ⅰ）证明：由题设an+1=4an-3n+1，
得an+1-（n+1）=4（an-n），n∈N+
又a1-1=1≠0∴
=4an+1-(n+1) an-n
∴数列{an-n}是首项为1，且公比为4的等比数列
（Ⅱ）由（1）可知an-n=4n-1
而bn=n（an-n）-n=n•4n-1-n
∴Sn=1•40+2•41+3•42+n•4n-1-（1+2+3+n）Tn
=1•40+2•41+3•42+n•4n-1①
4Tn=1•41+2•42+3•43+（n-1）•4n-1+n•4n②
由①-②得：-3Tn=1+4+42+4n-1-n•4n=
-n•4n=1-4n 1-4
-n•4n4n-1 3
∴Tn=
+1-4n 9
=n•4n 3
+(1 9
-n 3
)•4n1 9
=
+(3n-1)•4n 9
=1 9
Sn=(3n-1)•4n+1 9
-(3n-1)•4n+1 9 n(n+1) 2