问题
解答题
已知数列{an}满足a1=1，a2=λ（λ＜3且λ≠-2），且an+2=an+1+6an．（n∈N*）．
（1）证明：数列{an+1+2an}与数列{an+1-3an}都是等比数列；
（2）若an+1＞an（n∈N*）恒成立，求λ的取值范围．
答案
解析：（1）由an+2=an+1+6an得an+2+2an+1=3（an+1+2an）an+2-3an+1=-2（an+1-3an）…（4分）
由λ＜3是λ≠-2知a2+2a1≠0，a2-3a1≠0，故有
=3，an+2+2an-1 an+1+2an
=-2an+2-3an+1 an+1-3an
∴数列{an+1+2an}与数列{an+1-3an}都是等比数列．…（6分）
（2）由（1）知：an+1+2an=（λ+2）3n-1①an+1-3an=（λ-3）（-2）n-1②…（7分）
由①-②得5an=（λ+2）3n-1+（3-λ）（-2）n-15an+1=（λ+2）3n+（3-λ）（-2）n…（8分）
∴5（an+1-an）=（2λ+4）•3n-1+（3λ-9）•（-2）n-1＞0，又∵λ＜3，
化简得
＞(-2λ+4 9-3λ
)n-1…（10分）2 3
对于任意n∈N*，总有(-
)n-1≤1…（11分）2 3
∴
＞1，解之得1＜λ＜3…（12分）2λ+4 9-3λ