问题
解答题
直线l：y=kx+1与双曲线C：3x2-y2=1相交于不同的A，B两点．
（1）求AB的长度；
（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出k的值，若不存在，写出理由．
答案
联立方程组
，消去y得（3-k2）x2-2kx-2=0，y=kx+1 3x2-y2=1
∵直线与双曲线有两个交点，
∴
，解得k2＜6且k2≠3，3-k2≠0 △=4k2+8(3-k2)＞0
x1+x2=
，x1x2=2k 3-k2
．-2 3-k2
（1）|AB|=
|x1-x2|=1+k2 1+k2 (x1+x2)2-4x1x2
=1+k2 (
)2-4•2k 3-k2 -2 3-k2
=
（k2＜6且k2≠3）．2 -k4+5k2+6 |k2-3|
（2）假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点，
则kOA•kOB=-1，即x1x2+y1y2=0，
∴x1x2+（kx1+1）（kx2+1）=0，
即（k+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0，
∴(k+1)•
+k•-2 3-k2
+1=0，2k 3-k2
整理得k2=1，符合条件，
∴k=±1．