问题
解答题
已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2+5n，在数列{bn}中，b1=8且64bn+1-bn=0，是否存在常数c，使对任意的正整数n，an+logcbn恒为常数m，若存在，求常数c和m的值，若不存在，说明理由．
答案
c=2，m=11满足条件，证明如下
当n=1时，a1=S1=8-----------------（1分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=6n+2----（3分）
又n=1时满足上式，故an=6n+2，
又∵b1=8，64bn+1-bn=0
∴{bn}是以8为首项
为公比的等比数列1 64
∴bn=(
)2n-3---------------------------（6分）1 8
∴an+
=6n+2+log bnc log (
)2n-3c1 8
=6n+2+（2n-3）log
c1 8
=（6+2
）n+（2-3log
c1 8
）log
c1 8
∵an+logcbn=m对任意n∈N*恒成立，
∴6+2
=0log
c1 8 2-3
=mlog
c1 8
解得
----------（12分）c=2 m=11
故c=2，m=11满足条件．-------（13分）．