在平面直角坐标系中，已知A1（-3，0）A2（3，0）P（x，y）M（x2-9，

问题解答题

在平面直角坐标系中，已知A₁（-3，0）A₂（3，0）P（x，y）M（

x2-9

，0），若向量

A1P

，λ

，

A2P

满足(

)2=3

A1P

•

A2P

（1）求P点的轨迹方程，并判断P点的轨迹是怎样的曲线；
（2）过点A₁且斜率为1的直线与（1）中的曲线相交的另一点为B，能否在直线x=-9上找一点C，使△A₁BC为正三角形．

答案

（1）由A₁（-3，0），A₂（3，0），P（x，y），M（

x2-9

，0），

可得

A1P

=(x+3，y)，

A2p

=(x-3，y)，

x2-9

，0)，

∵(

)2=3

A1P

•

A2P

，∴x²-9=3（x+3，y）•（x-3，y），

即x²-9=3x²+3y²-27，也就是2x²+3y²-18=0，即

=1，

故P点的轨迹是与6为长轴长，2

为焦距，焦点在x轴上的椭圆；

（2）过点A₁且斜率为1的直线方程为y=x+3，

由

y=x+3

，得5x2+18x+9=0，x1=-3，x2=-

．

从而|A1B|=

1+k2

|x2-x1|=

．

设C（-9，y），则|A1C|=

(-9+3)2+(y-0)2

y2+36

．

∵△A₁BC是正三角形，∴|A1B|=|A1C|，

y2+36

，

即y2=-

612

，无解，

∴在直线x=-9上找不到点C，使△A₁BC是正三角形．