问题
解答题
已知椭圆
（1）若直线l的倾斜角是45°，求线段AB的长； （2）求证：k1+k2=0． |
答案
（1）直线l的方程是y=x-1，代入椭圆方程整理得：7x2-8x-8=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
，x1x2=-8 7
．…2分8 7
|AB|=
•|x1-x2|=1+k2
•2
=(
)2+8 7 32 7
．…5分24 7
（2）证明：当l⊥x轴时，由椭圆的对称性易知k1+k2=0；…6分
当l不与x轴垂直时，设其方程是：y=k（x-1）代入椭圆方程整理得：（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，易知其判别式△＞0恒成立，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
，x1x2=8k2 3+4k2
．…9分4k2-12 3+4k2
而K（4，0）
则k1+k2=
+y1 x1-4
=y2 x2-4
=x1y2+y1x2-4(y1+y2) (x1-4)(x2-4)
=0k[2x1xx-5(x1+x2)+8] (x1-4)(x2-4)
即k1+k2=0
综上总有k1+k2=0．…13分