问题
解答题
已知数列{an}、{bn}、{cn}的通项公式满足bn=an+1-an，cn=bn+1-bn（n∈N*）．若数列{bn}
是一个非零常数列，则称数列{an}是一阶等差数列；若数列{cn}是一个非零常数列，则称数列{an}是二阶等差数列．
（Ⅰ）试写出满足条件a1=1，b1=1，cn=1的二阶等差数列{an}的前五项；
（Ⅱ）求满足条件（Ⅰ）的二阶等差数列{an}的通项公式an；
（Ⅲ）若数列{an}的首项a1=2，且满足cn-bn+1+3an=-2n+1（n∈N*），求数列{an}的通项公式．
答案
（Ⅰ）a1=1，
a2=b1+a1=2，b2=c1+b1=2
∴a3=b2+a2=4，同样的道理求得a4=7，a5=1
（Ⅱ）依题意bn+1-bn=cn=1，n=1，2，3
所以bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+（bn-2-bn-3）+…+（b2-b1）+b1
=1+1+1+1+…+1=n
又an+1-an=bn=n，n=1，2，3，
所以an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+（an-2-an-3）+…+（a2-a1）+a1=（n-1）+（n-2）+…+2+1+1=
+1=n(n-1) 2 n2-n+2 2
（Ⅲ）由已知cn-bn+1+3an=-2n+1，可得bn+1-bn-bn+1+3an=-2n+1，
即bn-3an=2n+1，
整理得：an+1+2n+1=4（an+2n），
因而数列{an+2n}的首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，
∴an+2n=4•4n-1=4n，
即an=4n-2n