（1）由椭圆的离心率为

2

2

，得

c

a

=

2

2

①，

又△FMN面积S=

1

2

×c×|yM-yN|=c|yM|≤cb，所以cb=1②，

由①②及a²=b²+c²可解得：a²=2，b²=c²=1，

故椭圆E的方程是

x2

2

+y2=1．

（2）①设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

则

x 21

2

+

y

21

=1③，

x 22

2

+

y

22

=1④，

又m²+n²=1⑤，

因

OP

=m

OA

+n

OB

，故

x=mx1+nx2 y=my1+ny2.

因P在椭圆上，故

(mx1+nx2)2

2

+(my1+ny2)2=1．

整理得(

x 21

2

+

y

21

)m2+(

x 22

2

+

y

22

)n2+2(

x1x2

2

+y1y2)mn=1．

将③④⑤代入上式，并注意点Q（m，n）的任意性，得：

x1x2

2

+y1y2=0．

所以，kOAkOB=

y1y2

x1x2

=-

1

2

为定值．

②(y1y2)2=(-

x1x2

2

)2=

x 21

2

•

x 22

2

=(1-

y

21

)(1-

y

22

)=1-(

y

21

+

y

22

)+

y

21

y

22

，

故

y

21

+

y

22

=1．

又(

x 21

2

+

y

21

)+(

x 22

2

+

y

22

)=2，故

x

21

+

x

22

=2．所以OA²+OB²=

x

21

+

y

21

+

x

22

+

y

22

=3．