已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左焦点为F（-1，0），离心率

问题解答题

已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的左焦点为F（-1，0），离心率为

，过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．

答案

（Ⅰ）由题意可知：c=1，a²=b²-c²，e=

…（2分）

解得：a=

，b=1（3分）

故椭圆的方程为：

+y2=1（4分）

（II）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），（5分）

联立，得

y=k(x+1)

+y2=1

，

整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0（7分）

∵直线AB过椭圆的左焦点F∴方程有两个不等实根．（8分）

记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点N（x₀，y₀）

则x₁+x₂=

-4k2

1+2k2

（9分）

x₀=

x1+x2

，y0=

y1+y2

（10分）

垂直平分线NG的方程为y-y₀=-

(x-x0)，（11分）

令y=0，得x_G=x₀+ky₀=-

2k2

2k2+1

4k2+2

．（12分）

∵k≠0，∴-

＜xG＜0（13分）

∴点G横坐标的取值范围为（-

，0）．（14分）