数列{an}中，a1=1，前n项的和是Sn，且Sn=2an-1，n∈N*．（I）

问题解答题

数列{a_n}中，a₁=1，前n项的和是S_n，且S_n=2a_n-1，n∈N^*．
（I）求出 a₂，a₃，a₄；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）求证：S_nS_n+2＜

2n+1

．

答案

（I）∵a₁=1，S_n=2a_n-1，

∴当n=2时，a₁+a₂=2a₂-1，∴a₂=2

当n=3时，a₁+a₂+a₃=2a₃-1，∴a₃=4

当n=4时，a₁+a₂+a₃+a₄=2a₄-1，∴a₄=8 …（3分）

（II）∵S_n=2a_n-1，n∈N^*．（1）

∴S_n-1=2a_n-1-1，n≥2，n∈N^*．（2）

（1）-（2）得a_n=2a_n-1，

∴数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，

∴a_n=2^n-1…（8分）

（III）证明：∵S_n=2a_n-1=2ⁿ-1，

∴S_nS_n+2=（2ⁿ-1）•（2ⁿ⁺²-1）=2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²-2ⁿ+1，

2n+1

=2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²+1

∵2ⁿ＞0

∴S_nS_n+2＜

2n+1

．…（13分）