已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)经过点A（2，1），离心率为22

问题解答题

已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)经过点A（2，1），离心率为

．过点B（3，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求

•

的取值范围；
（Ⅲ）设直线AM和直线AN的斜率分别为k_AM和k_AN，求证：k_AM+k_AN为定值．

答案

（Ⅰ）由题意得

a2=b2+c2

，解得a=

，b=

．故椭圆C的方程为

=1．

（Ⅱ）由题意显然直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x-3），

由

y=k(x-3)

得（1+2k²）x²-12k²x+18k²-6=0．

因为直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，所以△=144k⁴-4（1+2k²）（18k²-6）=24（1-k²）＞0，解得-1＜k＜1．

设M，N的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则x1+x2=

12k2

1+2k2

，x1x2=

18k2-6

1+2k2

，

y₁=k（x₁-3），y₂=k（x₂-3）．

所以

•

=(x1-3)(x2-3)+y1y2

=（1+k²）[x₁x₂-3（x₁+x₂）+9]=

3+3k2

1+2k2

2(1+2k2)

．

因为-1＜k＜1，所以2＜

2(1+2k2)

≤3．

故

•

的取值范围为（2，3]．

（Ⅲ）由（Ⅱ）得k_AM+k_AN=

y1-1

x1-2

y2-1

x2-2

(kx1-3k-1)(x2-2)+(kx2-3k-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

2kx1x2-(5k+1)(x1+x2)+12k+4

x1x2-2(x1+x2)+4

2k(18k2-6)-(5k+1)•12k2+(12k+4)(1+2k2)

18k2-6-24k2+4(1+2k2)

-4k2+4

2k2-2

=-2．

所以k_AM+k_AN为定值-2．