（1）证明：∵α+β=

an

an-1

，αβ=

1

an-1

代入3α-αβ+3β=1得a_n=

1

3

a_n-1+

1

3

，

∴

an- 1 2

an-1- 1 2

=

1 3 an-1+ 1 3 - 1 2

an-1- 1 2

=

1

3

为定值．

∴数列{a_n-

1

2

}是等比数列．

（2）∵a₁-

1

2

=

5

6

-

1

2

=

1

3

，

∴a_n-

1

2

=

1

3

×（

1

3

）^n-1=（

1

3

）ⁿ．

∴a_n=（

1

3

）ⁿ+

1

2

．

（3）S_n=（

1

3

+

1

32

++

1

3n

）+

n

2

=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

+

n

2

=

n+1

2

-

1

2×3n

．