问题
解答题
| 椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴，它的短轴长为2，过焦点与x轴垂直的直线与椭圆C相交于A，B两点且|AB|=1． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过定点N（1，0）的直线l交椭圆C于C、D两点，交y轴于点P，若
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答案
（Ⅰ）设椭圆方程为
+x2 a2
=1．y2 b2
令x=-c，代入椭圆方程得，y=±
．b2 a
所以2×
=1，2b=2，b2 a
解得a=2，b=1．
∴椭圆的标准方程为
+y2=1；x2 4
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my-1，则P点坐标为（0，
）1 m
设C（x1，y1），D（x2，y2）
联立直线与椭圆的方程
，得（m2+4）y2-2my-3=0，x=my-1
+y2=1x2 4
∴y1+y2=
，y1y2=2m m2+4 -3 m2+4
又∵
=λ1PC
，CN
=λ2PD
，DN
∴λ1=
，λ2=
-y11 m y1
，
-y21 m y2
∴λ1+λ2=
+
-y11 m y1
=
-y21 m y2
+1 my1
-2=1 my2
-2=-y1+y2 my1y2
-2=-2 3 8 3
即λ1+λ2为定值